Descompunerea în produs de puteri de numere prime:

Un număr natural diferit de 1 care are ca divizori numai pe 1 și pe el însuși se numește număr prim.

Un număr prim are fix doi divizori: pe 1 și pe el însuși.

Numerele prime mai mici decât 50 sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 și 47.

Observație: singurul număr prim și par este 2.

Un număr este compus dacă are cel puțin trei divizori (altfel spus, admite cel puțin un divizor propriu).

Un număr compus are trei sau mai mulți divizori.

Exemplu:

Exemplu: Numărul 9 este compus, pentru că are trei divizori naturali: 1, 3 și 9.

Pentru a descompune un număr natural în produs de puteri de numere prime, împărțim, pe rând, numărul la numerele prime în ordine crescătoare, astfel:

Am împărțit de trei ori la 2, de două ori la 3 și o data la 5, deci 360 = 2³  3²   5¹

Determinarea celui mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) a două sau mai multe numere naturale

Pentru a afla c.m.m.d.c dintre două sau mai multe numere, parcurgem următorii pași:

• descompunem numerele în produs de puteri de factori primi
• alegem factorii comuni, o singură dată, la puterea cea mai mică, și îi înmulțim.

Exemplu: Aflați c.m.m.d.c  dintre 360 și 108:

Descopunem:  

360 = 2³  3²  5¹;   

108 = 2²  3³

Factorii primi comuni ambelor numere sunt 2 și 3.

Cea mai mica putere a lui 2 este 2² și cea mai mică putere a lui 3 este 3².

2²  3² =36

Deci (360,108) =36

Dacă cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere este 1, spunem că acele numere sunt prime între ele.

Determinarea celui mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale

Pentru a afla c.m.m.m.c dintre două sau mai multe numere naturale, parcurgem următorii pași:

• descompunem numerele în produs de puteri de factori primi
• alegem toți factorii, la puterea cea mai mare, o singură dată, și îi înmulțim.

Exemplu:

Aflați c.m.m.m.c  dintre 360 și 108.

Descopunem:  

360 = 2³  3²  5¹;   

108 = 2²  3³

Factorii primi sunt 2, 3 și 5.

Cea mai mare putere a lui 2 este 2³, cea mai mare putere a lui 3 este  3³ și a cea mai mare putere a lui 5 este 5¹.

2³  3³  5¹ = 1080

Deci [360,108] = 1080

Observație:

Pentru oricare două numere naturale a și b, avem:

(a, b)  [a,b] = a b

Proprietățile divizibilității în N

1|n, pentru orice n – număr natural. (adică orice număr natural este divizil cu 1)

n|n, pentru orice n – număr natural. (adică orice număr natural este divizil cu el însuși)

Pentru a,b,c, d numere naturale:

Dacă b|a și a|b, atunci  a=b.

Dacă b|a și c|b, atunci c|a.

Dacă d|a și d|b, atunci  d|a+b și d|a-b (a>b).

Divizibilitatea numerelor naturale aplicabilitate în viața reală

Capitolul despre divizibilitatea numerelor naturale în matematică reprezintă un aspect fundamental al teoriei numerelor, care are numeroase aplicații practice în viața reală. Divizibilitatea se referă la relația dintre două numere, unde unul este un multiplu al celuilalt, ceea ce implică împărțirea exactă a unuia dintre ele la celălalt fără rest.

• Un exemplu simplu de divizibilitate este atunci când un număr este divizibil cu alt număr fără a lăsa rest. De exemplu, 12 este divizibil cu 3, deoarece împărțirea lui 12 la 3 rezultă într-un număr întreg, 4. Această proprietate este esențială în multe aspecte ale matematicii și are numeroase aplicații practice.
• În domeniul financiar, divizibilitatea este esențială în calculul ratelor de schimb și a dobânzilor compuse. De exemplu, atunci când calculăm dobânzile pe care le plătim sau le primim pentru un împrumut sau un depozit bancar, divizibilitatea ne permite să calculăm exact cât trebuie să plătim sau cât primim în funcție de termenii contractului.
• În domeniul științific, divizibilitatea este esențială în calculul unităților de măsură și a proporțiilor. De exemplu, atunci când calculăm raportul dintre distanțe sau mase într-un experiment științific, divizibilitatea ne permite să obținem rezultate precise și utile.
• În domeniul informaticii și al criptografiei, divizibilitatea este esențială în criptarea și decriptarea datelor. De exemplu, în criptografia RSA, care este folosită în securitatea informațiilor, divizibilitatea este utilizată pentru a genera chei de criptare și decriptare.

În concluzie, divizibilitatea numerelor naturale este un concept esențial în matematică, cu numeroase aplicații practice în viața reală. De la finanțe și știință până la tehnologie și securitate informațională, divizibilitatea ne permite să efectuăm calculuri precise și să rezolvăm o varietate de probleme în diverse domenii.

Material video Divizibilitatea numerelor naturale