Produsul cartezian a două mulțimi nevide

Fie A și B două mulțimi nevide.

Produsul cartezian al mulțimilor A și B ne notează A X B și reprezintă mulțimea perechilor (a,b), cu proprietatea ca a este element al mulțimii A și b este element al mulțimii B.

A X B = {(a,b)/ a∈A, b∈B}

Numărul elementelor produsului cartezian a două mulțimi: card(A X B) = card(A) ⋅ card(B)

Exemplu:

Fie A = {1,2}, B={3,4,5}

A X B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}.

card(A X B) = card(A) ⋅ card(B) = 2 ⋅ 3 = 6.

Sistemul de axe ortogonale

Sistemul de axe ortogonale (Reperul cartezian) reprezintă o pereche ordonată de axe perpendiculare și se notează, de regulă, cu xOy.

Originea sistemului de axe ortogonale este originea celor două axe și se notează cu O (punctul de intersecție a celor două axe).

Axa absciselor reprezintă axa orizontală și se notează cu Ox. Se parcurge de la stânga la dreapta.

Axa ordonatelor reprezintă axa verticală și se notează cu Oy. Se parcurge de jos în sus.

Fiecărei perechi de numere reale (x,y) îi corespunde un punct unic în plan, care se reprezintă astfel:

• valoarea lui x se reprezintă pe axa orizontală, astfel se marcheaza un punct pe axa Ox
• valoarea lui y se reprezintă pe axa verticală, astfel se marcheaza un punct pe axa Oy
• Se desenează un dreptunghi cu vârfurile în O, punctul marcat pe Ox și punctul marcat pe Oy.
• Cel de-al patrulea vârf al dreptunghiului reprezintă punctul unic de coordonate (x,y).

Exemplu:

Punctul A(-2,3) se reprezintă astfel:

Punctul A este reprezentarea geometrică a perechii de numere reale (-2,3).

Numerele reale -2 și 3 sunt coordonatele punctului A.

Primua coordonată, -2, este coordonata orizontală, sau abscisa, și se notează cu xA. Avem xA = -2.

Cea de-a doua coordonată, 3, este coordonata verticală, sau ordonata, și se notează cu yA. Avem yA = 3.

Un punct situat pe axa orizontală Ox are ordonata nulă. Exemplu: P(2,0) ∈ Ox

Un punct cituat pe axa verticală Oy are abscisa nulă. Exemplu: Q(0,-1) ∈ Oy

Distanța dintre două puncte

Două puncte A și B sunt situate pe aceeași dreaptă orizontală dacă au aceeași ordonată: yA = yB

Distanța dintre două puncte A și B situate pe aceeași dreaptă orizontală este AB = |xB – xA|

Exemplu: Punctele A(-2,3) și B(1,3) sunt situate pe aceeași dreaptă orizontală pentru ca yA = yB = 3.

Distanța dintre A și B este AB = |xB – xA| = |1- (-2)| = |3| =3.

Două puncte A și B sunt situate pe aceeași dreaptă verticală dacă au aceeași abscisă: xA = xB

Distanța dintre două puncte A și B situate pe aceeași dreaptă verticală este AB = |yB – yA|

Exemplu: Punctele A(-2,3) și B(-2,1) sunt situate pe aceeași dreaptă verticală pentru ca xA = xB = -2.

Distanța dintre A și B este AB = |yB – yA| = |1- 3| = |-2| =2.

Distanța dintre două puncte A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B) este:

AB = 

Exemplu:

Distanța dintre punctele A(2,3) și B(4,1) este:

AB =  =  =  =  = 2

Dependențe funcționale

Spunem că, între două mulțimi nevide A și B există o dependență funcțională dacă, printr-o regulă oarecare, fiecărui element din mulțimea A îi corespunde un unic element din mulțimea B.

Exemplu:

Fie A = {1,2,3,4,5}

B = {2,3,4,5,6,7}

și relația y=x+1.

Între mulțimile A și B există o dependență funcțională y=x+1, dacă, atribuindu-i lui x fiecare valoare din A, obținem o valoare unică y care se regăsește în mulțimea B.

Pentru x=1∈A, y=1+1=2∈B

Pentru x=2∈A, y=2+1=3∈B

Pentru x=3∈A, y=3+1=4∈B

Pentru x=4∈A, y=4+1=5∈B

Pentru x=5∈A, y=5+1=6∈B.

Așadar , între mulțimile A și B există o dependență funcțională y=x+1.