Tipuri de intervale în R

Interval = submulțime a mulțimii numerelor reale, definită astfel:  (a,b ϵ R, a ≤ b)

• Interval închis [a,b] = {x, x ϵ R| a ≤ x ≤ b}

= toate numerele reale cuprinse între a și b, inclusiv a și b

 Exemplu:  -2 ≤ x ≤ 3   => x ϵ [-2,3]

• Interval deschis (a,b) = {x, x ϵ R| a < x < b}

= toate numerele reale cuprinse între a și b, cu mențiunea că intervalul nu conține pe a și b. 

Exemplu:  -2 < x < 3   => x ϵ (-2,3)

• Interval închis la stânga, deschis la dreapta [a,b) = {x, x ϵ R| a ≤ x < b}

= toate numerele reale cuprinse între a și b; intervalul conține pe a, dar nu conține pe b.

Exemplu:  -2 ≤ x < 3   => x ϵ [-2,3)

• Interval deschis la stânga, închis la dreapta (a,b] = {x, x ϵ R| a < x ≤ b}

= toate numerele reale cuprinse între a și b; intervalul nu conține pe a, dar conține pe b.

Exemplu:  -2 < x ≤ 3   => x ϵ (-2,3]

• Interval mărginit, închis la stânga, nemărginit la dreapta [a,+∞) = {x, x ϵ R| x ≥ a }

= toate numerele reale mai mari sau egale decât a

Exemplu:  x ≥ -2 => x ϵ [-2, +∞)

• Interval mărginit,deschis la stânga, nemărginit la dreapta (a,+∞) = {x, x ϵ R| x > a }

= toate numerele reale mai mari decât a, intervalul nu conține pe a

Exemplu:  x > -2   => x ϵ (-2, +∞)

• Interval nemărginit la stânga, mărginit, închis la dreapta (-∞,b] = {x, x ϵ R| x ≤ b }

= toate numerele reale mai mici sau egale decât b

Exemplu:  x ≤ 3   => x ϵ (-∞,3]

• Interval nemărginit la stânga, mărginit, deschis la dreapta (-∞,b) = {x, x ϵ R| x < b }

= toate numerele reale mai mici decât b, intervalul nu conține pe b

Exemplu:  x < 3   => x ϵ (-∞,3)

Operații cu intervale în R:

Reuniune: A U B = { x ϵ R | x ϵ A sau x ϵ B}

[-4,1) U (-1,3] = [-4,3];  

Intersecție: A ∩ B = { x ϵ R | x ϵ A și x ϵ B}

[-4,1) ∩ (-1,3] = (-1,1);  

Diferență: A \ B = { x ϵ R | x ϵ A și x ∉ B}

[-4,1) – (-1,3] = [-4,-1];

(-1,3] – [-4,1) = [1,3]  

Inecuații în R – exemple:

• Inecuații de forma ax+b>0 (sau ≥, <, ≤), a,b ϵ R:

Exemplu:

2x-8>6 / +8

⇔  2x>6+8

⇔  2x>14/ : 2

⇔  x>7; 

S=(7; +∞)

• Inecuații care se pot aduce la forma ax+b>0 (sau ≥, <, ≤), a,b ϵ R:

Exemplu:

-3x+5 ≤ 9+x

⇔  -3x-x ≤ 9-5 (aduc toți termenii cu x într-o parte și cei fără x în cealaltă parte a egalului)

⇔  -4x ≤ 4 / : (-4) (dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inegalități cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității)

⇔  x ≥ -1;  

S=[-1; +∞)

• Inecuații duble:

Exemplu:

-2<3x+1<7 / -1

⇔ -2-1<3x<7-1

⇔ -3<3x<6/ : 3

⇔ -1<x<2; 

S=(-1;2)

• Inecuații de forma |x| ≤ a (sau <), a ϵ R, a ≥ 0

Avem |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

Avem |x| < a ⇔ -a < x < a

Exemplu:

|x| ≤ 5

⇔ -5 ≤ x ≤ 5; 

S=[-5;5]

• Inecuații de forma |x| ≥ a (sau >), a ϵ R, a ≥ 0

Avem |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a sau x ≥ a

Avem |x| > a ⇔ x < -a sau x > a

Exemplu:

|x| > 4

⇔ x<-4 sau x>4; 

S=(-∞;-4) U (4; +∞)