Primitivele unei funcții. Integrala nedefinită a unei funcții

În cadrul lecției Primitivele unei funcții. Integrala nedefinită a unei funcții vom învăța: definiție, formule de calcul, formule de schimbare de variabilă, Formula de integrare prin părți și aplicare în viața reală.

În clasa a 11-a a fost introdusă noțiunea de derivata unei funcții. Dată fiind o funcție numerică derivabilă $f:A\to\mathbb{R}$ , calculam pe baza unor formule și reguli de calcul funcția $f':A'\to\mathbb{R}$ . De exemplu, dacă considerăm funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=3x^2+5x-1$ , obținem derivata $f'(x)=6x+5$ .

Dacă ne gândim invers, adică să considerăm o funcție $f:A\to\mathbb{R}$ și să aflăm ce funcție $F:A\to\mathbb{R}$ am derivat pentru a obține $f$ , atunci ne referim la o primitivă a funcției $f$ .

Definiție:

Fie $f:I\to\mathbb{R}$ . Funcția $f$ admite primitive pe intervalul I dacă există o funcție $F:I\to\mathbb{R}$ cu proprietățile:

a). $F$ este funcție derivabilă pe intervalul I

b). $F'(x)=f(x),\forall x\in I$ .

În cazul de mai sus, spunem că funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$ pe intervalul I, iar $f$ este primitivabilă pe intervalul I.

Exemplu: Să considerăm funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x$ . O primitivă a funcției $f$ este funcția $F_1\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $F_1(x)=x^2$ , deoarece $F'_1(x)=2x,\forall x\in\mathbb{R}$ . O altă primitivă a funcției $f$ este și $F_2(x)=x^2+5$ , deoarece $F'_2(x)=2x,\forall x\in\mathbb{R}$ . De fapt, $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $F(x)=x^2+c$ , unde $c\in\mathbb{R}$ este constantă sunt toate primitive ale funcției $f$ .

TEOREMA 1

Fie $I$ un interval de numere reale și $f:I\to\mathbb{R}$ . Dacă $F_1, F_2:I\to\mathbb{R}$ sunt două primitive ale funcției $f$ pe intervalul $I$ , atunci există $c\in\mathbb{R}$ o constantă pentru care $F_1(x)-F_2(x)=c,\forall x\in I$ . (spunem că orice două primitive distincte ale unei funcții diferă printr-o constantă)

Definiție:

Fie $I$ un interval de numere reale și $f:I\to\mathbb{R}$ o funcție care admite primitive pe $I$ .

Mulțimea tuturor primitivelor funcției $f$ pe intervalul $I$ se numește integrala nedefinită a funcției $f$ și se notează $\int f(x) dx$ .
Operația prin care se determină mulțimea primitivelor unei funcții se numește operația de integrare.

Observație: Dacă $f:I\to\mathbb{R}$ o funcție care admite primitive pe $I$ are o primitivă $F$ , atunci putem scrie că

$\int f(x)dx=\{F+c|c \ este \ funcție \ constantă\}$

În continuare, vom nota mulțimea tuturor funcțiilor constante cu $\mathcal{C}$ și putem rescrie relația de mai sus astfel: $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ .

Formule de calcul

Vom scrie primitivele următoarelor funcții definite pe intervalul $I\subseteq \mathbb{R}$ .

1. $\int c dx= cx+\mathcal{C}$ , $c\in\mathbb{R}$ , constantă

Exemplu: $\int 3dx=3x+\mathcal{C} \ \ \ \ \int -\sqrt{2}dx=-sqrt{2}x+\mathcal{C}$

2. $\int x^n dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$ , $n\in\mathbb{N}$

Exemplu: $\int xdx=\frac{x^2}{2}+\mathcal{C} \ \ \ \ \int x^5dx=\frac{x^6}{6}+\mathcal{C}$

3. $\int x^r dx= \frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C}$ , $r\in\mathbb{R}, r\neq-1$ , $I\subseteq(0,\infty)$

Exemplu: $\int \sqrt{x} dx=\int x^{\frac{1}{2}}+\mathcal{C}=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{{\frac{1}{2}}+1}+\mathcal{C}=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+\mathcal{C}=\frac{2}{3}\cdot x\sqrt{x}+\mathcal{C}$ .

4. $\int a^x dx= \frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C}$ , $a>0$ , $a\neq1$

Exemplu: $\int 2^x dx=\frac{2^x}{\ln 2}+\mathcal{C}$

5. $\int \frac{1}{x} dx= \ln |x|+\mathcal{C}$ , $I\subseteq \mathbb{R}^*$

6. $\int \sin x dx= -\cos x+\mathcal{C}$

7. $\int \cos x dx= \sin x+\mathcal{C}$

8. $\int \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\text{ctg} x+\mathcal{C}$ , $I\subseteq \mathbb{R}-\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\}$

9. $\int \frac{1}{\cos^2 x}dx=-\text{tg} x+\mathcal{C}$ , $I\subseteq \mathbb{R}-\{(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in\mathbb{Z}\}$

10. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx= \arcsin \frac{x}{a}+\mathcal{C}$ , $a>0, I\subseteq (-a,a)$

Exemplu: $\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx=\int \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} dx=\arcsin \frac{x}{2}+\mathcal{C}$

11. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx= \ln |x-\sqrt{x^2-a^2}|+\mathcal{C}$ , $a>0, I\subseteq (-\infty,-a)$ sau $I\subseteq (a,\infty)$

Exemplu: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} dx=\int \frac{1}{\sqrt{x^2-3^2}} dx \ln |x-\sqrt{x^2-9}|+\mathcal{C}$

12. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx= \ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+\mathcal{C}$ , $a\neq0$

Exemplu: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+15}} dx= \ln (x+\sqrt{x^2+15})+\mathcal{C}$

13. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx= \frac{1}{a}\text{arctg} \frac{x}{a}+\mathcal{C}$ , $a\neq0$

Exemplu: $\int \frac{1}{x^2+7} dx=\int \frac{1}{x^2+\sqrt{7}^2} dx= \frac{1}{\sqrt{7}}\text{arctg} \frac{x}{\sqrt{7}}+\mathcal{C}$

14. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx= \frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+\mathcal{C}$ , $a\neq0$ , $I\subseteq \mathbb{R}-\{\pm a\}$ .

Exemplu: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx= \frac{1}{2}\ln |\frac{x-1}{x+1}|+\mathcal{C}$

TEOREMA 2. (proprietatea de aditivitate a integralei nedefinite)

Fie $I$ un interval de numere reale și funcțiile $f, g:I\to\mathbb{R}$ care admit primitive pe $I$ . Atunci funcția sumă $f+g:I\to\mathbb{R}$ admite primitive pe $I$ și avem că:

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

Exemplu: $\int (x^3+\sin x)dx=\int x^3 dx+\int \sin x dx=\frac{x^4}{4}-\cos x+\mathcal{C}$

TEOREMA 3.

Fie $I$ un interval de numere reale, funcția $f:I\to\mathbb{R}$ care admite primitive pe $I$ și constanta $c\in\mathbb{R}$ . . Atunci funcția $c\cdot f:I\to\mathbb{R}$ admite primitive pe $I$ și pentru $c\neq 0$ avem că:

$\int [c\cdot f(x)]dx=c\cdot\int f(x)dx$

Exemplu: $\int \frac{5}{x^3}dx=5\int \frac{1}{x^3}dx=5\int x^{-3}dx=5\cdot \frac{x^{-2}}{-2}+\mathcal{C}=-\frac{5}{2x^2}+\mathcal{C}$

CONSECINȚĂ: Fie $I$ un interval de numere reale, funcțiile $f, g:I\to\mathbb{R}$ care admit primitive pe $I$ și constantele $a,b\in\mathbb{R}$ . . Atunci funcția $af+bg :I\to\mathbb{R}$ admite primitive pe $I$ și pentru $a,b$ nesimultan nule avem că:

$\int[af(x)+bg(x)]dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$

Exemplu: $\int(3x^7-2x^2+\frac{5}{x})dx=3\int x^7 dx-2\int x^2 dx+5\int\frac{1}{x} dx=3\frac{x^8}{8}-2\frac{x^3}{3}+5\ln|x|+\mathcal{C}$

Caz particular: Dacă în relația de mai sus avem $a=1$ și $b=-1$ obținem și regula de la scădere: $\int[f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$ .

Observații:

Orice funcție continuă $f:I\to\mathbb{R}$ admite primitive pe $I$ .
Orice funcție $f:I\to\mathbb{R}$ care are discontinuități de speța I admite primitive pe $I$ .
Dacă o funcție $f:I\to\mathbb{R}$ nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul $I$ , atunci ea nu admite primitive pe $I$ .

Formula de schimbare de variabilă

Fie $I,J$ intervale de numere reale și funcțiile $f:J\to\mathbb{R}$ , $u:I\to J$ cu proprietățile:

a. $u$ este funcție derivabilă pe $I$

b. $f$ admite primitive pe $J$

Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$ , atunci funcția $(f\circ u)\cdot u'$ admite primitive pe $I$ și $\int f(u(x))\cdot u'(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}$ .

Astfel se pot rescrie formulele de mai sus:

1. $\int u^n(x)\cdot u'(x) dx= \frac{u^{n+1}(x)}{n+1}+\mathcal{C}$ , $n\in\mathbb{N}$

Exemplu: $I_1=\int (x+2)^10 dx$

Avem $u(x)=x+2$ și $u'(x)=1$ , deci $I_1=\int (x+2)^{10} \cdot 1dx=\frac{(x+2)^{11}}{11}+\mathcal{C}$ .

2. $\int u^r(x)\cdot u'(x) dx= \frac{u^{r+1}(x)}{r+1}+\mathcal{C}$ , $r\in\mathbb{R}, r\neq-1$ , $u(I)\subseteq(0,\infty)$

Exemplu: $I_2=\int\frac{5}{(3x+4)^6}dx=5\int (3x+4)^{-6}dx$

Avem $u(x)=3x+4$ și $u'(x)=3$ , deci vom scrie astfel $I_2=5\cdot\frac{1}{3}\int 3\cdot \int (3x+4)^{-6} dx= \frac{5}{3}\cdot\frac{(3x+4)^{-5}}{-5}+\mathcal{C}=-\frac{1}{3(3x+4)^5}+\mathcal{C}$ .

3. $\int a^{u(x)}\cdot u'(x) dx= \frac{a^{u(x)}}{\ln a}+\mathcal{C}$ , $a>0$ , $a\neq1$

Exemplu: $I_3=\int (2x+1)2^(x^2+x+3)dx$

Dacă considerăm $u(x)=x^2+x+3$ , avem că $u'(x)=2x+1$ , deci $I_3=\frac{2^{x^2+x+3}}{\ln 2}+\mathcal{C}$

4. $\int \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) dx=\int \frac{u'(x)}{u(x)}dx= \ln |u(x)|+\mathcal{C}$ , $u(x)\neq0,\forall x\in I$

Exemplu:. $I_4= \int \frac{x+1}{3x^2+6x-7}dx$

Luăm $u(x)=3x^2+6x-7$ , iar $u'(x)=6x+6=6(x+1)$ , deci este nevoie să înmulțim cu 6 și $\frac{1}{6}$ .

$I_4=\frac{1}{6}\int \frac{6x+6}{3x^2+6x-7}dx=\frac{1}{6}\ln|3x^2+6x-7|+\mathcal{C}$

5. $\int \sin u(x)\cdot u'(x) dx= -\cos u(x)+\mathcal{C}$

Exemplu: $I_5=\int \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx$

Notăm $u(x)=\sqrt{x}\Rightarrow u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ și obținem $I_5=2\int \frac{\sin (\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}dx=2\int \sin (\sqrt{x})\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}dx=-2\cos (\sqrt{x})+\mathcal{C}$

6. $\int \cos u(x)\cdot u'(x) dx= \sin u(x)+\mathcal{C}$

Exemplu: $I_6=\cos(e^x)\cdot e^x dx$

Avem $u(x)=u'(x)=e^x\Rightarrow I_6=\sin(e^x)+\mathcal{C}$ .

7. $\int \frac{1}{\sin^2 u(x)}\cdot u'(x)dx=-\text{ctg} u(x)+\mathcal{C}$ , $u(x)\in \mathbb{R}-\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\}, \forall x\in I$

Exemplu: $I_7=\int \frac{1}{\sin^2(x-10)}dx$

$u(x)=x-10; u'(x)=1\Rightarrow I_7=-\text{ctg}(x-10)+\mathcal{C}$

8. $\int \frac{1}{\cos^2 u(x)}\cdot u'(x)dx=-\text{tg} u(x)+\mathcal{C}$ , $u(x)\in\mathbb{R}-\{(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in\mathbb{Z}\}, \forall x\in I$

Exemplu: $I_8=\int \frac{x+1}{\cos^2(\frac{x^2}{2}+x+5)}dx$

Dacă notăm $u(x)=\frac{x^2}{2}+x+5$ obținem $u'(x)=x+1$ , deci $I_8=\int \frac{1}{\cos^2(\frac{x^2}{2}+x+5)}\cdot (x+1)dx=-\text{tg}(\frac{x^2}{2}+x+5)+\mathcal{C}$

9. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-u^2(x)}}\cdot u'(x) dx= \arcsin \frac{u(x)}{a}+\mathcal{C}$ , $a>0, u(I)\subseteq (-a,a)$

Exemplu: $I_9=\int \frac{1}{\sqrt{4-e^{2x}}}\cdot e^x dx=\int \frac{e^x}{\sqrt{2^2-(e^x)^2}}dx=\arcsin\frac{e^x}{2}+\mathcal{C}$

10. $\int \frac{1}{\sqrt{u^2(x)-a^2}}\cdot u'(x) dx= \ln |u(x)-\sqrt{u^2(x)-a^2}|+\mathcal{C}$ , $a>0, u(I)\subseteq (-\infty,-a)$ sau $u(I)\subseteq (a,\infty)$

Exemplu: $I_{10}=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+6x+5}}=\int \frac{(x+3)'}{\sqrt{(x+3)^2-4}}dx=\ln|x+3-\sqrt{(x+3)^2-4}|+\mathcal{C}$

11. $\int \frac{1}{\sqrt{u^2(x)+a^2}}\cdot u'(x) dx= \ln (u(x)+\sqrt{u^2(x)+a^2})+\mathcal{C}$ , $a\neq0$

Exemplu: $I_{11}=\int\frac{1}{\sqrt{4x^2+9}}dx=\int\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{(2x)^2+3^2}}dx=\frac{1}{2}\ln (2x+\sqrt{4x^2+9})+\mathcal{C}$

12. $\int \frac{1}{u^2(x)+a^2}\cdot u'(x) dx= \frac{1}{a}\text{arctg} \frac{u(x)}{a}+\mathcal{C}$ , $a\neq0$

Exemplu: $I_{12}=\int\frac{3}{9x^2+12x+5}dx=\int\frac{(3x+2)'}{(3x+2)^2+1^2}dx=\text{arctg}(3x+2)+\mathcal{C}$

13. $\int \frac{1}{u^2(x)-a^2}\cdot u'(x) dx= \frac{1}{2a}\ln |\frac{u(x)-a}{u(x)+a}|+\mathcal{C}$ , $a\neq0$ , $u(x)\in\mathbb{R}-\{\pm a\}, \forall x\in I$ .

Exemplu: $I_{13}=\int\frac{e^x}{e^{2x}-25}dx=\frac{1}{10}\ln |\frac{e^x-5}{e^x+5}|+\mathcal{C}$

Formula de integrare prin părți

Fie două funcții $f,g:I\to\mathbb{R}$ derivabile pe $I$ . Din regula de derivare a produsului avem $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$ . Dacă integrăm această relație obținem:

$\int [(f(x)\cdot g(x))'dx=\int [f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)]dx \Rightarrow f(x)\cdot g(x)=\int [f'(x)\cdot g(x)]dx+\int [f(x)\cdot g'(x)]dx$ și obținem formula de integrare prin părți:

$\int [f'(x)\cdot g(x)]dx=f(x)\cdot g(x)-\int [f(x)\cdot g'(x)]dx$ sau pe scurt $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g'$ .

Exemple.

1. $I_1=\int (3x+2)\cdot e^x dx$

Luăm în integrala de mai sus funcțiile astfel: $f'(x)=e^x$ și $g(x)=3x+2$ (dacă am fi ales invers, adică $f'(x)=3x+2$ și $g(x)=e^x$ obțineam o integrală mai dificil de calculat). Atunci obținem $f(x)=\int e^x dx=e^x$ (de constanta va apărea la finalul rezultatului integralei) și $g'(x)=3$ , apoi înlocuim în formula de integrare prin părți.

$I_1=(3x+2)\cdot e^x-\int e^x\cdot 3 dx=(3x+2)\cdot e^x -3\int e^x dx= (3x+2)\cdot e^x-3e^x+\mathcal{C}=(3x-1)\cdot e^x+\mathcal{C}$

2. $I_2=\int (-x+5)\cdot \sin x dx$

Alegem $f'(x)=\sin x$ și $g(x)=-x+5\Rightarrow f(x)=\int \sin x dx=-cos x$ , iar $g'(x)=-1\Rightarrow$

$I_2=-(-x+5)\cos x-\int (-\cos x)\cdot (-1) dx=(x-5)\cos x-\int \cos x dx=(x-5)\cos x-\sin x+\mathcal{C}$

3. $I_3=\int (3x^2+2x+1)\cdot \ln x dx$

Alegem $f'(x)=3x^2+2x+1$ și $g(x)=\ln x\Rightarrow f(x)=\int (3x^2+2x+1) dx=x^3+x^2+x$ , iar $g'(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow$

$I_3=(x^3+x^2+x)\cdot \ln x -\int (x^3+x^2+x)\cdot \frac{1}{x} dx=(x^3+x^2+x)\cdot \ln x -\int (x^2+x+1)dx=(x^3+x^2+x)\cdot \ln x -(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x)+\mathcal{C}$ .

Utilizarea în viața de zi cu zi a Primitivele unei Funcții și Integrala Indefinită

Integrala Indefinită: Definiție și Utilitate

Integrala indefinită reprezintă o noțiune matematică importantă, notată de obicei ca ∫f(x) dx, unde f(x) este funcția dată și dx indică variabila de integrare. Procesul constă în găsirea unei funcții F(x) astfel încât derivata acesteia, F'(x), să fie egală cu f(x). Mai simplu spus, integrala indefinită ne arată cum să găsim funcția originală a unei rate de schimbare date.

Aplicabilitatea în Viața Reală a Primitivele unei Funcții și Integrala nedefinită

Deși această teorie matematică poate părea abstractă, integrala indefinită are aplicații semnificative în viața reală. Aici sunt câteva exemple:

Calculul Ariei și Volumului: În geometrie, pentru a calcula arii sau volume, integralele pot fi utilizate pentru a suma mici schimbări ale suprafețelor sau volumelor. Aceasta este o aplicație crucială în arhitectură, inginerie civilă și design.
Economie și Finanțe: În domeniul economiei, integrala poate fi folosită pentru a calcula costuri, venituri, profituri și multe altele. În plus, în finanțe, integralele pot fi utile pentru a calcula randamente sau pentru a analiza date legate de investiții.
Medicină și Științe Biologice: În domeniul medical, integralele pot ajuta la analizarea ratei de creștere a unui virus sau a distribuției unei substanțe în organism. În biologie, ele pot fi folosite pentru a studia populații, biodiversitate sau evoluție.
Știința Calculatorului și Programare: În informatică, integralele sunt utilizate pentru a rezolva probleme de analiză a algoritmilor și pentru a optimiza performanța sistemelor.
Inginerie și Fizică: În domeniile ingineriei și fizicii, integralele sunt folosite pentru a rezolva probleme legate de electricitate, magnetism, mecanică și multe altele.

În concluzie, primitivele unei funcții și integrala indefinită sunt concepte matematice fundamentale cu o gamă largă de aplicații practice în viața reală. Acestea ne permit să înțelegem și să analizăm procese complexe, să rezolvăm probleme și să luăm decizii informate într-o varietate de domenii.

Dacă îți place platforma noastră, te invit și pe pagina noastră de Facebook și Youtube

Meniu