Fracții ordinare 📚

Fracții ordinare

Acest material despre fracții ordinare se învață în clasa a 5a și cuprinde următoarele noțiuni: fracții subunitare, echiunitare, supraunitare, compararea fracțiilor, introducerea și scoaterea întregilor dintr-o fracție, amplificarea și simplificarea fracțiilor, aducerea fracțiilor la acelați numitor, adunarea și scăderea fracțiilor, înmulțirea și împărțirea fracțiilor, ridicarea la putere a fracțiilor, fracții și procente intr-un număr natural sau dintr-o fracție ordinară.

Definirea fracției ordinare

Fracția este o pereche de numere naturale a, b (b $\neq$ 0), scrisă sub forma: $\dfrac{\mathbit{a}}{\mathbit{b}}$

a = numărător (arată câte unități fracționare s-au luat).

b= numitor (arată în câte părți egale a fost împărțit întregul)

Fracții subunitare, echiunitare, supraunitare

Fracția subunitară este fracția în care numărătorul mai mic decât numitorul

Exemplu: $\dfrac{1}{7}$ este subunitară pentru că 1<7.

Fracția supraunitară este fracția în care numărătorul este mai mare decât numitorul

Exemplu: $\dfrac{8}{3}$ este supraunitară pentru că 8>3.

Fracția echiunitară este fracția în care numărătorul este egal cu numitorul

Exemplu: $\dfrac{5}{5}$ este echiunitară pentru că 5=5.

Introducerea întregilor în fracție

Un număr alcătuit din n întregi și o fracție $\dfrac{a}{b}$ , unde n, a, b sunt numere naturale, b≠ 0, n≠ 0, se numește număr mixt și se notează $n\dfrac{a}{b}$ .

$n\dfrac{\mathbit{a}}{\mathbit{b}}$ = $\dfrac{\mathbit{n}\ \cdot\mathbit{b}+\mathbit{a}}{\mathbit{b}}$

Exemplu: $4\dfrac{1}{7}$ = $\dfrac{4\ \cdot7+1}{7}$ = $\dfrac{28+1}{7}$ = $\dfrac{29}{7}$

Scoaterea întregilor din fracție:

Operația de scriere a unei fracții supraunitare $\dfrac{\mathbit{a}}{\mathbit{b}}$ sub forma unui număr mixt se numește scoaterea întregilor din fracție.

Dacă a:b=c, rest r, atunci $\dfrac{\mathbit{a}}{\mathbit{b}}$ = $\mathbit{c}\dfrac{\mathbit{r}}{\mathbit{b}}$

Exemplu: 15:2=7, rest 1, deci $\dfrac{15}{2}$ = $7\dfrac{1}{2}$

Amplificarea fracțiilor

A amplifica o fracție cu un număr natural nenul înseamnă a înmulți atât numărătorul, cât și numitorul fracției date cu acel număr. Prin amplificare se obține o fracție echivalentă cu cea dată.

ⁿ⁾ $\dfrac{a}{b}$ = $\dfrac{n\cdot a}{n\cdot b}$ , b,n $\neq$ 0

Exemplu:

²⁾ $\dfrac{4}{5}$ = $\dfrac{2\cdot 4}{2\cdot 5}$ = $\dfrac{8}{10}$

Simplificarea fracțiilor

A simplifica o fracție cu un număr natural nenul înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul fracției date la acel număr, iar acel număr este un divizor comun, diferit de 1, al numărătorului și numitorului. Prin simplificare se obține o fracție echivalentă cu cea dată.

$\dfrac{a}{b}$ ^(d = $\dfrac{a:d}{b:d}$ , b,d $\neq$ 0, d $\neq$ 1

Exemplu:

$\dfrac{10}{18}$ ⁽² = $\dfrac{10:2}{18:2}$ = $\dfrac{5}{9}$

Fracția ireductibilă este o fracție care nu se mai poate simplifica prin niciun număr natural;

Exemplu: $\dfrac{5}{7}$ este o fracție ireductibilă, pentru că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu 1.

Aducerea fracțiilor la același numitor

Se parcurg, de regulă, următorii pași:

• se simplifică fiecare fracție până devine ireductibilă;
• se calculează cel mai mic multiplu comun al numitorilor;
• se amplifică fiecare fracție astfel încât să se obțină același numitor la toate fracțiile.

Exemplu:

Aducerea la același numitor a fracțiilor: $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{2}{5}$ , $\dfrac{5}{6}$ :

Cel mai mic multiplu comun al lui 2, 5 și 6 este 30.

O modalitate de a determina cel mai mic multiplu comun a mai multor numere este următoarea: se determină cel mai mare număr dintre cele luate în calcul. Se verifică dacă numărul cel mai mare este multiplu al celorlalte numere – dacă da, în acest caz, acel număr este cel mai mic multiplu comun. Dacă nu, se înmulțește numărul respectiv cu 2 și verificăm dacă obținem un număr care să fie multiplu al celorlalte numere. Dacă da, atunci acela este multiplul comun. Dacă nu, se înmulțeste numărul cel mai mare cu 3 (apoi 4,5 și tot așa) până obținem un multiplu comun.

Așadar, amplificăm $\dfrac{1}{2}$ cu 15, $\dfrac{2}{5}$ cu 6, $\dfrac{5}{6}$ cu 5.

Obținem: $\dfrac{15}{30}$ , $\dfrac{12}{30}$ , $\dfrac{25}{30}$ .

Compararea fracțiilor

Compararea fracțiilor cu același numitor: este mai mică fracția cu numărătorul mai mic

Exemplu: $\dfrac{1}{7}$ < $\dfrac{2}{7}$ pentru că 1<2;

Compararea fracțiilor cu același numărător: este mai mică fracția cu numitorul mai mare

Exemplu: $\dfrac{9}{7}$ < $\dfrac{9}{5}$ pentru că 7>5;

Compararea fracțiilor cu numitor și numărător diferiți: se aduc fracțiile la același numitor, apoi se compară conform regulei comparării fracțiilor cu același numitor.

Adunarea și scăderea fracțiilor

Adunarea fracțiilor cu același numitor: se adună numărătorii și se păstrează numitorul: $\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$ .

Exemplu: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2+1}{5} = \dfrac{3}{5}$ .

Scăderea fracțiilor cu același numitor: se scad numărătorii și se păstrează numitorul: $\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}$ .

Exemplu: $\dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4-1}{5} = \dfrac{3}{5}$ .

Adunarea și scăderea fracțiilor numitori diferiți: mai întâi se aduc fracțiile la același numitor, apoi se calculează, folosind regula adunării sau scăderii fracțiilor cu același numitor.

Exemplu: ⁴⁾ $\dfrac{7}{15}$ – ⁵⁾ $\dfrac{5}{12}$ = $\dfrac{28}{60} - \dfrac{25}{60}$ = $\dfrac{3}{60}$ ⁽³ = $\dfrac{1}{20}$ .

Înmulțirea unei fracții ordinare cu un număr natural

Pentru a înmulți o fracție ordinară cu un număr natural, înmulțim numărătorul fracției cu acel număr; numitorul rămâne același.

$n \CDOT \dfrac{a}{b} = \dfrac{n\cdot a}{b}$

Exemplu: $6 \cdot \frac{4}{5} = \dfrac{6\cdot\ 4}{5} = \dfrac{24}{5}$ .

Înmulțirea fracțiilor ordinare

Pentru a înmulți două fracții, se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei.

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot\ c}{b \cdot\ d}$

Exemplu: $\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \cdot\ 4}{7 \cdot\ 5} = \dfrac{8}{35}$

Inversa unei fracții ordinare

Inversa unei fracții ordinare $\dfrac{a}{b}$ este $\dfrac{b}{a}$ , a,b# $\neq$ 0.

Exemplu: inversa lui $\dfrac{2}{7}$ este $\dfrac{7}{2}$ . Inversa lui 3 (care este echivalent cu $\dfrac{3}{1}$ ) este $\dfrac{1}{3}$ .

Împărțirea fracțiilor ordinare

Pentru a împărți două fracții, înmulțim prima fracție cu inversa celeilalte.

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a\cdot\ d}{b \cdot\ c}$ , b,c,d $\neq$ 0.

Exemplu: $\dfrac{5}{4} : \dfrac{7}{11} = \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{11}{7} = \dfrac{5 \cdot\ 11}{4 \cdot\ 7} = \dfrac{55}{28}$ .

Ridicarea la putere a unei fracții ordinare

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\ \dfrac{a^n}{b^n}.$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^0=1;$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^1=\dfrac{a}{b}$ b $\neq$ 0.

Se aplică următoarele reguli de calcul cu puteri:

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m+n}$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m$ : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m-n}$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\dfrac{c}{d}\right)^n = \left(\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\right)^n$

$\left(\dfrac{a:c}{b:d}\right)^n = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ : $\left(\dfrac{c}{d}\right)^n$

[ $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ ] $^m$ = $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n\cdot m}$

Aflarea unei fracții sau a unui procent dintr-un număr

Pentru a afla o dfracție dintr-un număr, se înmulțește acea dfracție cu acel număr.

$\dfrac{a}{b}$ din n = $\dfrac{a}{b} \cdot n$ .

Exemplu: $\dfrac{1}{4}$ din 8 = $\dfrac{1}{4} \cdot\ 8$ = 2.

Procentul este o fracție cu numitorul egal cu 100.

$\dfrac{p}{100}$ se notează p% și se citește p procente sau p la sută.

Aflarea unui procent dintr-un număr: Pentru a afla un procent p% dintr-un număr,se înmulțește fracția $\dfrac{p}{100}$ cu acel număr.

$\dfrac{p}{100}$ din n = $\dfrac{p}{100} \cdot n$

Exemplu: 10% din 30 = $\dfrac{10}{100} \cdot\ 30 = \dfrac{300}{100} = 3$ .

Dacă îți place platforma noastră, te invit și pe pagina noastră de Facebook și Youtube

Meniu