Z = { …., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ….}

Z* = Z \ {0}

Mulțimea numerelor întregi cuprinde totalitatea numerelor naturale, precum și opusele lor.

Opusul unui număr întreg n este –n.

Numerele naturale nenule sunt numere strict pozitive (1,2,3,….)

Opusele numerelor naturale nenule sunt numere strict negative (….-3,-2,-1)

Adunarea numerelor întregi

• adunarea a două numere întregi cu același semn se efectuează astfel: se trece semnul comun și se adună valorile absolute ale numerelor (adică numerele fără semn)

Exemple:

(+5)+(+6)=+(5+6) = +11

(-5)+(-6)=-(5+6) = -11

• adunarea a două numere întregi cu semne diferite se efectuează astfel: se trece semnul numărului cu valoarea absolută cea mai mare și se scad valorile absolute ale numerelor

Exemple:

(+5)+(-6)=-(6-5) = -1

(-5)+(+6)=+(6-5) = +1

Scăderea numerelor întregi

Scăderea a două numere întregi se face adunând la descăzut opusul scăzătorului: a-b=a+(-b).

Exemplu:

2-5=2+(-5)=-(5-2)=-3

2-(-5) = 2+(+5)=2+5=7

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

Rezultatul înmulțirii sau al împărțirii a două numere întregi cu același semn va avea semnul +.

Exemple:

(+2) ∙ (+3) = +(2∙3) = +6

(+8) : (+2) = +(8:2) = +4

(-2) ∙ (-3) = +(2∙3) = +6

(-8) : (-2) = +(8:2) = +4

Rezultatul înmulțirii sau al împărțirii a două numere întregi cu semne diferite va avea semnul -.

Exemple:

(+2) ∙ (-3) = -(2∙3) = -6

(+8) : (-2) = -(8:2) = -4

(-2) ∙ (+3) = -(2∙3) = -6

(-8) : (+2) = -(8:2) = -4

Puterea unui număr întreg

Dacă ridicăm un număr pozitiv la putere pară sau impară, obținem un număr pozitiv.

(+2)4 = + 16

(+2)3 = + 8

Dacă ridicăm un număr negativ la putere pară, obținem un număr pozitiv.

(-2)4 = + 16

Dacă ridicăm un număr negativ la putere impară, obținem un număr negativ.

(-2)3 = -8

Modulul unui număr întreg

Modulul unui număr întreg se notează: |a|

|a| = +a, dacă a>0

|a| = 0, dacă a=0

|a| = -a, dacă a<0

Exemple:

|6| = +6

|-5| = -(-5) = +5

Ecuații cu numere întregi

Rezolvarea unei ecuații presupune determinarea mulțimii tuturor soluțiilor ecuației. Valorile necunoscutei (sau necunoscutelor) care verifică ecuația formează soluția ecuației.

Exemplu:

Rezolvați în mulțimea numerelor întregi, următoarea ecuație: –2x+5=-3

Pasul 1: Toți termenii care conțin necunoscuta x se duc în partea stângă a egalului, iar toți termenii fără x, se duc în partea dreaptă a egalului. Se respectă regula conform căreia dacă un termen este mutat de cealaltă parte a egalului, atunci acesta se va trece cu semn schimbat.

-2x = -3-5

-2x = -8

Pasul 2: Se determină necunoscuta x, împărțind numărul obținut în partea dreaptă la coeficientul necunoscutei:

x = -8 : (-2)

x = 4

Pasul 3: Se scrie soluția ecuației:

S={4}

Inecuații cu numere întregi

Rezolvarea unei inecuații presupune determinarea mulțimii tuturor soluțiilor inecuației. Valorile necunoscutei (sau necunoscutelor) care verifică inecuația formează soluția inecuației.

Exemplu:

Rezolvați, în mulțimea numerelor naturale, următoarea inecuație: x+5>2x-6

Se urmăresc aceiași pași ca la ecuații:

x-2x > -6-5

-x > -11

x < -11:(-1) *atunci când împărțim sau înmulțim inecuația printr-un număr negativ, sensul acesteia se schimbă.

x < 11

S-a cerut rezolvarea inecuației în mulțimea numerelor naturale, deci soluția constă în totalitatea numerelor naturale care îndeplinesc condiția x < 11:

S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Utilizare

Mulțimea numerelor întregi este un concept fundamental în matematică și se referă la colecția tuturor numerelor întregi, adică numerele negative, nule și pozitive, fără fracții sau valori fractionare. Acest concept este utilizat în mai multe domenii și aplicații, precum:

1. Matematică pură – Mulțimea numerelor întregi este studiată în mod detaliat în matematică și se află la baza altor concepte matematice, cum ar fi aritmetica, teoria numerelor și algebra.
2. Informatică – Numerele întregi sunt utilizate în codificarea programelor informatice, fiind necesare pentru a stoca informații despre dimensiunile unui fișier, numărul de elemente din un vector sau pentru a efectua operații aritmetice simple.
3. Finanțe – În finanțe, numerele întregi sunt utilizate pentru a modela schimbările în prețurile activelor financiare, cum ar fi acțiunile sau obligațiunile, precum și pentru a evalua rentabilitatea unui investiție.
4. Jocuri – Numerele întregi sunt utilizate în jocurile video sau de noroc pentru a genera numere aleatoare, precum și pentru a efectua operații aritmetice simple, cum ar fi adunarea sau scăderea.

În concluzie, mulțimea numerelor întregi este un concept important în mai multe domenii, fiind utilizat în matematică, informatică, finanțe și jocuri, și este esențial pentru înțelegerea și aplicarea acestor domenii.