Asemănarea triunghiurilor
Acest material despre asemănarea triunghiurilor cuprinde următoarele noțiuni: teorema lui Thales, reciproca teoremei lui Thales, teorema bisectoarei, triunghiuri asemenea, criterii de asemănare, teorema fundamentală a asemănării.
Teorema lui Thales
Thales din Milet a trăit între anii 623 și 546 înainte de Hristos și a fost un important filozof grec, considerat părinte al științelor. Acesta a avut contribuții importante în matematică, astronomie și filozofie.
Teorema lui Thales: O paralelă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau pe prelungirile acestora segmente proporționale.
În Δ ABC: Dacă D ∈ AB, E ∈ AC și DE ǁ BC, atunci 
= 
În Δ A’B’C’: Dacă D’ ∈ A’B’, E’ ∈ A’C’ și D’E’ ǁ B’C’, atunci 
= 
În Δ A”B”C”: Dacă D” ∈ A”B”, E” ∈ A”C” și D”E” ǁ B”C”, atunci 
= 
Reciproca teoremei lui Thales: Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci această dreaptă este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului.
În Δ ABC: Dacă D ∈ AB, E ∈ AC și = , atunci DE ǁ BC
În Δ A’B’C’: Dacă D’ ∈ A’B’, E’ ∈ A’C’ și = , atunci D’E’ ǁ B’C’
În Δ A”B”C”: Dacă D” ∈ A”B”, E” ∈ A”C” și = , atunci D”E” ǁ B”C”
Teorema bisectoarei
Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu laturile care formează unghiul dat.
În Δ ABC: Dacă AD este bisectoarea unghiului A, D ∈ BC, atunci 
= 
Reciproca teoremei bisectoarei:
În Δ ABC: Dacă D ∈ BC și = , atunci AD este bisectoarea unghiului A.
Triunghiuri asemenea
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare respectiv proporționale.
Δ ABC ∼ Δ MNP:
∠A ≡ ∠M
∠B ≡ ∠N
∠C ≡ ∠P
= 
= 
Teorema fundamentală a asemănării
O paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile acestora, un triunghi asemenea cu cel dat.
n Δ ABC: Dacă D ∈ AB, E ∈ AC și DE ǁ BC, atunci Δ ADE ∼ Δ ABC.
În Δ A’B’C’: Dacă D’ ∈ A’B’, E’ ∈ A’C’ și D’E’ ǁ B’C’, atunci Δ A’D’E’ ∼ Δ A’B’C’.
În Δ A”B”C”: Dacă D” ∈ A”B”, E” ∈ A”C” și D”E” ǁ B”C”, atunci Δ A”D”E” ∼ Δ A”B”C”.
Cazuri de asemănare a triunghiurilor
1) Cazul de asemănare UU (unghi – unghi): Dacă două triunghiuri au două perechi de unghiuri respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt asemenea.
Exemplu: Fie Δ ABC și Δ MNP. Dacă ∠A ≡ ∠M și ∠B ≡ ∠N, atunci Δ ABC ∼ Δ MNP.
2) Cazul de asemănare LUL (latură – unghi – latură): Dacă două triunghiuri au o pereche de unghiuri respectiv congruente și laturile care le formează respectiv proporționale, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.
Exemplu: Fie Δ ABC și Δ MNP. Dacă ∠A ≡ ∠M și = , atunci Δ ABC ∼ Δ MNP.
3) Cazul de asemănare LLL (latură – latură – latură): Dacă două triunghiuri au toate laturile respectiv proporționale, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.
Exemplu: Fie Δ ABC și Δ MNP. Dacă = = , atunci atunci Δ ABC ∼ Δ MNP.
Aplicabilitate:
Triunghiurile sunt unele dintre formele geometrice fundamentale, iar asemanarea triunghiurilor este un concept important în matematică și geometrie.
Importanța asemanarii triunghiurilor: Asemanarea triunghiurilor are o importanță semnificativă în matematică și geometrie, dar și în alte domenii, precum:
- Arhitectură: Asemanarea triunghiurilor este folosită în arhitectură pentru a crea modele și structuri simetrice, precum turnurile sau arcadele.
- Inginerie: Asemanarea triunghiurilor este esențială în inginerie pentru a calcula distanțele, unghiurile și rapoartele dintre diferitele elemente ale unei structuri, precum poduri sau clădiri.
- Astronomie: Asemanarea triunghiurilor este folosită în astronomie pentru a calcula distanțele între planete sau stele, pe baza unghiurilor observate.
- Jocuri și puzzle-uri: Asemanarea triunghiurilor este folosită în jocuri și puzzle-uri pentru a crea modele și forme interesante și atractiv de rezolvat.
În concluzie, asemanarea triunghiurilor este o proprietate importantă în matematică și geometrie, care are o gamă largă de aplicații practice în diverse domenii, cum ar fi arhitectura, ingineria, astronomia și jocurile. Înțelegerea acestei proprietăți geometrice poate ajuta la dezvoltarea de structuri și modele mai precise și mai eficiente, care pot îmbunătăți viețile oamenilor în multe moduri.
