Ecuații și sisteme de ecuații liniare
Acest material despre ecuații și sisteme de ecuații liniare cuprinde următoarele noțiuni: ecuații de forma ax+b =0, a,b ϵ R, a≠0, sisteme de două ecuații cu două necunoscute – metoda substituției și metoda reducerii.

Ecuația de forma ax+b =0, a,b ϵ R, a≠0
x este necunoscuta, iar a și b se numesc coeficienți. b se mai numește termenul liber.
Soluția ecuației este x=
Două ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași soluție.
Exemplu:
Rezolvați, în R, următoarea ecuație: 2x+5=4x-3
Mutăm totți termenii în partea stângă:
2x+5-4x+3=0
-2x+8=0
Identificăm coeficienții:
a=-2, b=8.
Calculăm necunoscuta:
x = =
x = 4
Scriem soluția ecuației:
S={4}
Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
Sistemele de două ecuații liniare cu două necunoscute au forma:
a,b,c,m,n,p ϵ R.
Două sisteme de ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime a soluțiilor.
Exemplu:
Rezolvați, în R, următorul sistem de ecuații:
Metoda substituției
Se prelucrează una dintre ecuații, pentru a scoate una dintre necunoscute, în funcție de cealaltă:
2x=-5+5y
x =
Se înlocuiește necunoscuta scoasă mai sus, în cealaltă ecuație, se aduce la o formă cât mai simplă, și astfel se detremină cealaltă necunoscută:
3x + y = 18
3·
-15+17y=18·2
-15+17y=36
17y=36 + 15
17y=51
y=51:17
y=3
Se determină și necunoscuta substituită inițial:
x= 5
Se scrie soluția sistemului: S={(5;3)}
Metoda reducerii
Se înmulțesc ambele ecuații cu câte un număr nenul, astfel încât, dacă adunăm cele două ecuații, termenii care conțin una dintre necunoscute să se reducă.
Se adună cele două ecuații astfel obținute, astfel se determină una dintre necunoscute:
Se înlocuiește necunoscuta aflată, într-una dintre ecuații, pentru a afla cealaltă necunoscută:
Se scrie soluția sistemului: S={(5;3)}
Importanța ecuațiilor în viața de zi cu zi
Ecuațiile, acele expresii matematice aparent abstracte, se regăsesc în numeroase situații din viața reală, ajutându-ne să rezolvăm probleme complexe sau să găsim soluții optime. Deși la prima vedere ele pot părea dificile sau rezervate doar matematicienilor, ecuațiile sunt de fapt instrumente simple, indispensabile în activități cotidiene. Iată câteva exemple practice:
1. Calculul distanței și timpului în călătorii
Când planifici o călătorie, o ecuație simplă devine esențială:
unde reprezintă distanța, este viteza medie, iar este timpul.
De exemplu, dacă știi că ai de parcurs 300 km și viteza medie este de 100 km/h, poți calcula timpul necesar astfel:
Aceasta te ajută să îți organizezi mai bine itinerarul.
2. Gestionarea finanțelor personale
Un exemplu comun îl reprezintă economisirea banilor. Dacă vrei să economisești o sumă într-un număr de luni, știind suma lunară pe care o poți pune deoparte, folosești ecuația:
De exemplu, pentru a economisi 2.000 de lei în 10 luni, rezolvi ecuația:
Astfel, știi câți bani trebuie să pui deoparte lunar pentru a-ți atinge obiectivul.
3. Pregătirea rețetelor culinare
Dacă vrei să ajustezi o rețetă pentru mai mulți oameni, folosești proporționalitatea – un alt exemplu de aplicație a ecuațiilor. De exemplu, dacă o rețetă pentru 4 persoane necesită 200 g de zahăr, pentru 6 persoane calculezi astfel:
4. Determinarea facturilor de utilități
Pentru facturile lunare, multe companii folosesc formule bazate pe consum:
unde este costul total, reprezintă prețul per unitate de consum, iar este numărul unităților consumate. Dacă plătești 0,80 lei pe kWh și ai consumat 250 kWh într-o lună, costul va fi:
5. Planificarea proiectelor de construcție
Arhitecții și inginerii folosesc ecuații pentru a calcula suprafața sau volumul materialelor. De exemplu, pentru a calcula volumul betonului necesar pentru o placă dreptunghiulară cu grosimea de 0,15 m, lungimea de 10 m și lățimea de 5 m:
Aceste exemple demonstrează că ecuațiile nu sunt doar teorii matematice abstracte, ci instrumente practice care ne ajută să navigăm cu ușurință prin problemele vieții de zi cu zi. Indiferent dacă plănuiești o călătorie, gătești sau îți administrezi finanțele, ecuațiile îți oferă răspunsuri precise.