Proiecții ortogonale pe o dreaptă

Proiecția ortogonală a unui punct A pe o dreaptă d reprezintă piciorul perpendicularei duse din punctul A pe dreapta d.

Dacă A ∉ d:  pr_dA=A’, unde AA’⊥d, A’∈ d:

Dacă A ∈ d:  pr_dA=A

Proiecția ortogonală a unui segment AB pe o dreaptă d reprezinta segmentul care cuprinde proiecțiile tuturor punctelor de pe segmentul AB pe dreapta d.

Dacă AB nu este perpendicular pe d, A,B ∉ d, atunci pr_dAB=A’B’, unde A’= pr_dA, B’= pr_dB.

Dacă AB nu este perpendicular pe d, A ∈ d,B ∉ d, atunci pr_dAB=AB’, unde unde B’= pr_dB.

Dacă AB ⊥ d, atunci pr_dAB=O unde AB ∩ d = {O}.

Teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii care pleacă din vârful unghiului drept este medie geometrică între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

ΔABC cu m∢A = 90°, dacă AD⊥BC, D∈BC, atunci: 

AD =  sau

AD²=BD ∙ CD

Reciproca teoremei înălțimii

Dacă într-un triunghi ABC, care nu este triunghi obtuzunghic, lungimea înălțimii AD este media geometrică a lungimilor proiecțiilor laturilor AB și AC pe BC, atunci acel triunghi este dreptunghic.

ΔABC cu m∢A ≤ 90°, m∢B ≤ 90°, m∢C ≤ 90°, dacă AD =  sau AD²=BD ∙ CD, atunci:

m∢A = 90°

Teorema catetei

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este medie geometrică între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției respectivei catete pe ipotenuză.

ΔABC cu m∢A = 90°, dacă AD⊥BC, D∈BC, atunci: 

AB =  sau AB²=BC ∙ BD și

AC =  sau AC²=BC ∙ CD

Reciproca teoremei catetei

Dacă într-un triunghi ABC, cu D=pr_BCA și D∈B, avem: AB²=BC ∙ BD sau AC²=BC ∙ CD, atunci m∢A = 90°.

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

În ΔABC cu m∢A = 90°, BC² =  AB² + AC².

Reciproca teoremei lui Pitaora

Dacă, într-un triunghi, pătratul lungimii unei laturi este suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, unghiul drept fiind cel opus primei laturi.

Dacă, într-un triunghi ABC are loc relația BC² =  AB² + AC², atunci ΔABC dreptunghic cu m∢A = 90°.

Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Fie ΔABC cu m∢A:

Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic:

sinus = 

sin B = 

sin C = 

Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic:

cosinus = 

cos B = 

cos C = 

Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic:

tangenta = 

tg B = 

tg C = 

Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic:

cotangenta = 

ctg B = 

ctg C = 

Măsura unghiului:	30°	45°	60°
sin:
cos:
tg:		1
ctg:		1