Expresii algebrice

O expresie algebrică este o succesiune de numere și/sau litere legate între ele prin operații aritmetice.

Exemplu:

E(x) = 2x2 + 2x + 7

Adunarea și scăderea numerelor reprezentate prin litere

Termenii asemenea într-o expresie algebrică sunt termenii care conțin aceeași succesiune de litere, la aceiași exponenți.

Adunarea/ scăderea a doi termeni dintr-o expresie algebrică se face astfel: termenul asemenea rămâne același, iar coeficienții se adună/ scad.

Exemplu 1:

2x + 4x = (2+4)x = 6x

Observație: x este termenul asemenea, iar 2 și 4 sunt coeficienți.

Exemplu 2:

4xy + y2 + 5x2 – 7xy – 2y2 – 5x2 = (4-7)xy + (1-2)y2 = -3xy – y2

Termenii opuși se reduc: +5x2 cu -5x2

Am evidențiat cu aceeași culoare termenii care au aceeași parte literală. (4xy și 7xy cu galben și +y2 și 2y2 cu albastru)

Termenii cu aceeași parte literală se scad/adună între ei, copiind termenii asemenea li adunând/scăzând coeficienții.

Observație: Pentru ca y2 nu are niciun coeficent în față, considerăm ca are coeficientul 1.

Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere

Prin înmulțirea/ împărțirea a doi termeni dintr-o expresie algebrică se obține un nou termen astfel: se înmulțesc/împart între ei coeficienții și se înmulțesc/împart între ele numerele reprezentate prin litere.

Prin ridicarea a putere a unui termen dintr-o expresie algebrică se obține un nou termen, astfel: ridicăm la putere coeficientul și ridicăm la putere numerele reprezentate prin litere.

Exemplu:

2x2y · 4x3 = (2·4) · (x2·x3) · y = 8 · x2+3 · y = 8x5y

Formule de calcul prescurtat

Reamintim: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd   

Exemplu: 

(x+1)(x-4) = x2 + x – 4x – 4 = x2 – 3x – 4

Pătratul sumei a doi termeni:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2         

Exemplu:

(2x + 7)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 7 + 72 = 22 · x2 + (2·2·7)·x + 49 = 4x2 + 28x + 49

Pătratul diferenței a doi termeni:

(a-b)2 = a2 – 2ab + b2       

Exemplu:

(a – 3b)2 = a2 – 2 · a · 3b + (3b)2 = a2 – (2·3) · a· b + 32 · b2 = a2 -6ab + 9b2

Produsul sumei și a diferenței a doi termeni

(a+b)(a-b) = a2 – b2    

Exemplu:

(1+5x)(1-5x) = 12 – (5x)2 = 1 – 52 · x2 = 1 – 25x2

Descompunerea în factori a unei expresii algebrice

Metoda factorului comun

Se folosește utilizând următoarele formule:

ab+ac = a(b+c)

ab-ac = a(b-c)

Exemplu:

4xy + 2xy2 – 14x3y = 2xy (2 + y – 7x2)

Metoda restrângerii ca pătrat

Se folosește utilizând formulele:

a2 + 2ab + b2 =(a+b)2

a2 – 2ab + b2 =(a-b)2

Exemplu 1:

36x2 +12xy + y2 = 62 · x2 + + y2 = (6x)2 + 2 · 6x · y + y2 = (6x + y)2

Exemplu 2:

2y2 – 10y + 25 = () 2 y2 – 2·5· y + 52 = ( y)2 – 2 · y · 5 + 52 = (y – 5)2

Metoda restrângerii ca diferență de pătrate

Se aplică utilizând formula:

a2 – b2 = (a-b)(a+b)       

Exemplu:

49 – 16x2y4 = 72 – 42 · x2 · (y2)2 = 72 – (4xy2)2 = (7-4xy2)(7+4xy2)

Metode combinate

Exemplu:

Descompuneți în factori: x2 + 4x + 3

Varianta 1:

x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1 = (x2 + 4x + 4) – 1 = (x + 2)2– 12 = [(x+2)-1] · [(x+2)+1] = (x+1)(x+3)

Varianta 2:

Coeficientul lui x este +4, iar termenul liber este +3. Caut două numere care înmulțite dau +4, și înmulțite dau +3. Observ că acele numere sunt +1 și +3.

Rescriu expresia, astfel:

x2 + 4x + 3 = x2 + 1 · x + 3 · x + 1 · 3 = (x2 + 1 · x) + (3 · x + 1 · 3) = x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x+3).

Fracții algebrice

O fracție are sens dacă numitorul este diferit de 0.

Exemplu:

Fracția  are sens dacă x2-1 ≠ 0 ⟺ x2 ≠  1 ⟺ x ≠ 1 și x ≠ -1.  Deci, fracția are sens pentru x ϵ R-{-1,1}.

Fracția   se simplifică astfel:   =  = . Simplificăm (x+1) de la numărător cu (x+1) de la numitor și obțin: .

Operații cu fracții algebrice

Exemplu:

Aduceți expresia la o formă cât mai simplă:

 =

• aduc la același numitor, amplificând prima fracție cu x și a doua fracție cu (x+1)

=

= 

• simplific pe diagonală (x+1) de la numitorul primei fracții cu (x+1) de la numărătorul celei de-a doua fracții

=

=

Ecuația de gradul al doilea

Rezolvarea ecuațiilor de forma ax2 + bx + c = 0, a,b,c ϵ R, a≠0

a,b,c se numesc coeficienți;

x este necunoscuta. 

Δ este discriminantul, unde Δ=b2-4ac

Avem trei situații:

• Dacă Δ > 0, atunci avem fix două soluții reale:  S = {; }
• Dacă Δ = 0, atunci avem fix o soluție reală:  S = { }
• Dacă Δ < 0, atunci nu avem soluții reale

Exemplu: x2-6x+5=0.  Coeficienții sunt: a=1, b=-6, c=5. Δ = b2– 4ac = (-6)2-4·1·5 = 36-20 = 16 > 0

Deci avem două soluții reale: x1= = 1  și x2 =  = 5.               

S={1,5}

Utilizare Calcul algebric în R

Calculul Algebric în R este un instrument puternic care poate fi folosit în mai multe domenii, oferind soluții eficiente pentru rezolvarea problemelor matematice complexe.

În domeniul științific, Calculul Algebric în R poate fi utilizat pentru a analiza datele și a obține modele matematice care explică fenomenele naturale. De asemenea, poate fi folosit în domeniul financiar pentru a evalua investițiile și pentru a prezice tendințele pieței.

În inginerie, Calculul Algebric în R poate fi folosit pentru proiectarea și analizarea modelelor tehnice, precum și pentru simularea proceselor industriale și verificarea fiabilității acestora.

În domeniul social, Calculul Algebric în R poate fi utilizat pentru a analiza datele demografice și a prezice tendințele societății.

În concluzie, prin intermediul Calculului Algebric în R, se pot rezolva probleme complexe din mai multe domenii, oferind soluții eficiente și rapide.