Calcul algebric în R

Acest material despre calcul algebric în R cuprinde următoarele noțiuni: expresii algebrice, adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere, formule de calcul prescurtat, metode de descompunere în factori, fracții algebrice, ecuația de gradul al doilea.

Calcul algebric în R

Calcul algebric în R

Expresii algebrice

O expresie algebrică este o succesiune de numere și/sau litere legate între ele prin operații aritmetice.

Exemplu:

E(x) = 2x2 + 2x + 7

 

Adunarea și scăderea numerelor reprezentate prin litere

Termenii asemenea într-o expresie algebrică sunt termenii care conțin aceeași succesiune de litere, la aceiași exponenți.

Adunarea/ scăderea a doi termeni dintr-o expresie algebrică se face astfel: termenul asemenea rămâne același, iar coeficienții se adună/ scad.

Exemplu 1:

2x + 4x = (2+4)x = 6x

Observație: x este termenul asemenea, iar 2 și 4 sunt coeficienți.

Exemplu 2:

4xy + y2 5x2 – 7xy – 2y2 – 5x2 = (4-7)xy + (1-2)y2 = -3xy – y2

Termenii opuși se reduc: +5x2 cu -5x2

Am evidențiat cu aceeași culoare termenii care au aceeași parte literală. (4xy și 7xy cu galben și +y2 și 2y2 cu albastru)

Termenii cu aceeași parte literală se scad/adună între ei, copiind termenii asemenea li adunând/scăzând coeficienții.

Observație: Pentru ca y2 nu are niciun coeficent în față, considerăm ca are coeficientul 1.

 

Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere

Prin înmulțirea/ împărțirea a doi termeni dintr-o expresie algebrică se obține un nou termen astfel: se înmulțesc/împart între ei coeficienții și se înmulțesc/împart între ele numerele reprezentate prin litere.

Prin ridicarea a putere a unui termen dintr-o expresie algebrică se obține un nou termen, astfel: ridicăm la putere coeficientul și ridicăm la putere numerele reprezentate prin litere.

Exemplu:

2x2y · 4x= (2·4) · (x2·x3) · y = 8 · x2+3 · y = 8x5y

 

Formule de calcul prescurtat

Reamintim: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd   

Exemplu: 

(x+1)(x-4) = x2 + x – 4x – 4 = x2 – 3x – 4

 

Pătratul sumei a doi termeni:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2         

Exemplu:

(2x + 7)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 7 + 72 = 22 · x2 + (2·2·7)·x + 49 = 4x2 + 28x + 49

 

Pătratul diferenței a doi termeni:

(a-b)2 = a2 – 2ab + b2       

Exemplu:

(a – 3b)2 = a2 – 2 · a · 3b + (3b)2 = a2 – (2·3) · a· b + 32 · b2 = a2 -6ab + 9b2

 

Produsul sumei și a diferenței a doi termeni

(a+b)(a-b) = a2 – b2    

Exemplu:

(1+5x)(1-5x) = 12 – (5x)2 = 1 – 52 · x2 = 1 – 25x2

 

Descompunerea în factori a unei expresii algebrice

Metoda factorului comun

Se folosește utilizând următoarele formule:

ab+ac = a(b+c)

ab-ac = a(b-c)

Exemplu:

4xy + 2xy2 – 14x3y = 2xy (2 + y – 7x2)

 

Metoda restrângerii ca pătrat

Se folosește utilizând formulele:

a2 + 2ab + b=(a+b)2

a2 – 2ab + b=(a-b)2

Exemplu 1:

36x2 +12xy + y2 = 62 · x2 + + y2 = (6x)2 + 2 · 6x · y + y2 = (6x + y)2

Exemplu 2:

2y2 – 10\sqrt{2}y + 25 = (\sqrt{2}y2 – 2·5· \sqrt{2}y + 52 = ( \sqrt{2}y)2 – 2 · \sqrt{2}y · 5 + 52 = (\sqrt{2}y – 5)2

 

Metoda restrângerii ca diferență de pătrate

Se aplică utilizând formula:

a2 – b2 = (a-b)(a+b)       

Exemplu:

49 – 16x2y4 = 72 – 42 · x2 · (y2)2 = 72 – (4xy2)2 = (7-4xy2)(7+4xy2)

 

Metode combinate

Exemplu:

Descompuneți în factori: x2 + 4x + 3

Varianta 1:

x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1 = (x2 + 4x + 4) – 1 = (x + 2)2– 12 = [(x+2)-1] · [(x+2)+1] = (x+1)(x+3)

Varianta 2:

Coeficientul lui x este +4, iar termenul liber este +3. Caut două numere care înmulțite dau +4, și înmulțite dau +3. Observ că acele numere sunt +1 și +3.

Rescriu expresia, astfel:

x2 + 4x + 3 = x2 + 1 · x + 3 · x + 1 · 3 = (x2 + 1 · x) + (3 · x + 1 · 3) = x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x+3).

 

Fracții algebrice

O fracție are sens dacă numitorul este diferit de 0.

Exemplu:

Fracția \dfrac{2x+2}{x^2-1} are sens dacă x2-1 ≠ 0 ⟺ x2 ≠  1 ⟺ x ≠ 1 și x ≠ -1.  Deci, fracția are sens pentru x ϵ R-{-1,1}.

Fracția  \dfrac{2x+2}{x^2-1} se simplifică astfel:  \dfrac{2x+2}{x^2-1} = \dfrac{2(x+1)}{x^2-1^2} = \dfrac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}. Simplificăm (x+1) de la numărător cu (x+1) de la numitor și obțin: \dfrac{2}{x-1}.

 

Operații cu fracții algebrice

Exemplu:

Aduceți expresia la o formă cât mai simplă:

Calcul algebric în R =

  • aduc la același numitor, amplificând prima fracție cu x și a doua fracție cu (x+1)

=\left[\dfrac{x}{x(x+1)} - \dfrac{(x+1)}{x(x+1)}\right]\cdot \dfrac {(x-1)(x+1)}{2}

\left[\dfrac{x-x-1}{x(x+1)}\right] \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{2}

  • simplific pe diagonală (x+1) de la numitorul primei fracții cu (x+1) de la numărătorul celei de-a doua fracții

=\dfrac{-1}{x} \cdot \dfrac{x-1}{2}

=\dfrac {-x+1}{2x}

 

Ecuația de gradul al doilea

Rezolvarea ecuațiilor de forma ax2 + bx + c = 0, a,b,c ϵ R, a≠0

a,b,c se numesc coeficienți;

x este necunoscuta. 

Δ este discriminantul, unde Δ=b2-4ac

Avem trei situații:

  • Dacă Δ > 0, atunci avem fix două soluții reale:  S = {\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}
  • Dacă Δ = 0, atunci avem fix o soluție reală:  S = {\dfrac{-b}{2a} }
  • Dacă Δ < 0, atunci nu avem soluții reale

Exemplu: x2-6x+5=0.  Coeficienții sunt: a=1, b=-6, c=5. Δ = b2– 4ac = (-6)2-4·1·5 = 36-20 = 16 > 0

Deci avem două soluții reale: x1=\dfrac{6-\sqrt{16}}{2} = 1  și x2 = \dfrac{6+\sqrt{16}}{2} = 5.               

S={1,5}

 

Utilizare Calcul algebric în R

Calculul Algebric în R este un instrument puternic care poate fi folosit în mai multe domenii, oferind soluții eficiente pentru rezolvarea problemelor matematice complexe.

În domeniul științific, Calculul Algebric în R poate fi utilizat pentru a analiza datele și a obține modele matematice care explică fenomenele naturale. De asemenea, poate fi folosit în domeniul financiar pentru a evalua investițiile și pentru a prezice tendințele pieței.

În inginerie, Calculul Algebric în R poate fi folosit pentru proiectarea și analizarea modelelor tehnice, precum și pentru simularea proceselor industriale și verificarea fiabilității acestora.

În domeniul social, Calculul Algebric în R poate fi utilizat pentru a analiza datele demografice și a prezice tendințele societății.

În concluzie, prin intermediul Calculului Algebric în R, se pot rezolva probleme complexe din mai multe domenii, oferind soluții eficiente și rapide.

Dacă îți place platforma noastră, te invit și pe pagina noastră de Facebook și Youtube

 

Facebook
Twitter
LinkedIn
WhatsApp
Email