Mulțimea numerelor reale 📚

Mulțimea numerelor reale

Mulțimea numerelor reale. În cele ce urmează, vă prezint următoarele concepte: Mulțimea numerelor reale, Ordonarea numerelor reale, Inegalitatea mediilor, Modului unui număr real, Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real, Intervale de numere reale ce se învață în clasa a 9a.

Mulțimea numerelor reale.

Mulțimile de numere studiate în clasele V-VIII sunt următoarele:

1). $\mathcal{N}=\{0; 1; 2; \ldots \}$ = mulțimea numerelor naturale

2). $\mathcal{Z}=\{\ldots ; -2; -1; 0; 1; 2; \ldots \}$ = mulțimea numerelor întregi

3). $\mathcal{Q}=\{\frac{a}{b}|a\in\mathcal{Z}, b\in\mathcal{N}^*, (a,b)=1}$ = mulțimea numerelor raționale

4). $\mathcal{R}$ = mulțimea numerelor reale

5). $\mathcal{R}-\mathcal{Q}$ =mulțimea numerelor iraționale

Între mulțimile enumerate mai sus avem următoarea relație de incluziune: $\mathcal{N}\subset\mathcal{Z}\subset\mathcal{Q}\subset\mathcal{R}$ .

Pe mulțimea numerelor reale (dar și pe submulțimile acesteia) au fost definite operațiile algebrice de adunare și scădere, iar regulile de calcul vi le puteti reaminti parcurgând materialele de la gimnaziu de pe site.

Ordonarea numerelor reale.

Orice număr real poate fi reprezentat pe axa numerelor (axa numerelor reale) și i se poate asocia un punct unic , pentru care reprezintă abscisa(coordonata) sa. (citim”punctul A de abscisă a sau punctul A de coordonată a”)

În imaginea de mai sus avem reprezentate punctele $A(2), B(-\frac{3}{2}), C(\sqrt{10})$ care au abscisele $2, -\frac{3}{2}, \sqrt{10}$ .

Pentru orice două numere reale distincte avem a<b (dacă punctul este situat pe axa numerelor în stanga punctului ) sau b<a (putem scrie și b>a sau a>b).

Relația „<” definită pe $\mathcal{R}$ are proprietățile:

1). Legea de trihotomie. Oricare două numere reale și verifică doar una dintre cele trei relații: , sau .

2). Proprietatea de tranzitivitate. Dacă $a,b,c\in\mathcal{R}$ , și , atunci .

Dacă prin $a\leq b$ înțelegem sau (citim „a mai mic sau egal decât b”), atunci relația de ordine $\leq$ are următoarele proprietăți:

1). Reflexivitatea: $a\leq a, \forall a\in\mathcal{R}$

2). Antisimetria: dacă $a\leq b$ și $b\leq a$ , atunci .

3). Tranzitivitatea. Dacă $a,b,c\in\mathcal{R}$ , $a\leq b$ și $b\leq c$ , atunci $a\leq c$ .

Relația „\leq” definită pe mulțimea numerelor reale, care verifică proprietătile 1)-3) de mai sus se numește relație de ordine pe R.

4). Pentru orice $x,y\in\mathcal{R}$ avem $x\leq y$ sau $y\leq x$ . Astfel spunem că relația de ordine este totală.

5). Alte proprietăți

pentru $a,b\in\mathcal{R}$ și $a\leq b\Rightarrow a+x\leq b+x,\forall x\in\mathcal{R}$
pentru $a,b\in\mathcal{R}$ și $a\leq b\Rightarrow a\cdot x\leq b\cdot x,\forall x\geq 0$ și $a\cdot x\geq b\cdot x,\forall x<0$ (în particular, daca $a\leq b\Rightarrow -a\geq -b$ )
pentru $a,b\in\mathcal{R}$ și $a\leq b\Rightarrow \frac{a}{x}\leq \frac{b}{x},\forall x>0$ și $\frac{a}{x}\geq \frac{b}{x},\forall x<0$
pentru $0<a\leq b\Rightarrow 0<\frac{1}{b}\leq \frac{1}{a}$
pentru $0<a\leq b$ și $0<c\leq d\Rightarrow ac\leq bd$

Inegalitatea mediilor.

Pentru două numere reale pozitive și definim: $m_a=\frac{a+b}{2}$ (media aritmetică), $m_g=\sqrt{a\cdot b}$ (media geometrică), $m_h=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ (media armonică), = minimul dintre numerele și și = maximul dintre numerele și .

Cu notațiile de mai sus avem pentru orice și pozitive: (inegalitatea mediilor)

Modului unui număr real.

Definiție:

Modulul sau valoarea absolută a unui număr real reprezintă distanța de pe axa numerelor de la origine până la punctul corespunzător numărului și se notează .

Exemplu: $|-5|=5; \ \ \ \ |\frac{1}{3}|=\frac{1}{3}; \ \ \ \ |1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$

Proprietăți:

1). $|a|\geq 0,\forall a \in\mathcal{R}$ .

2). $|a|=0\Leftrightarrow a=0$

3). $|-a|=|a|, \forall a \in\mathcal{R}$

4). $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|, \forall a,b \in\mathcal{R}$

5). $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}, \forall a,b \in\mathcal{R}, b\neq0$

6). $|a+b|\leq |a|+|b|$ (inegalitatea triunghiului)

7). $|a-b|\leq |a|+|b|$

8). $||a|-|b||\leq |a\pm b|, \forall a,b \in\mathcal{R}$

Inecuații cu modul

Pentru $a>0, a\in\mathcal{R}$ avem:

1). $|x|<a \Leftrightarrow -a<x<a$ , adică $x\in(-a,a)$ .

2). $|x|\leq a \Leftrightarrow -a\leq x\leq a$ , adică $x\in[-a,a]$ .

3). $|x|>a \Leftrightarrow x<-a$ sau , adică $x\in(-\infty,-a)\cup(a,\infty)$ .

4). $|x|\geq a \Leftrightarrow x\leq-a$ sau $x\geq a$ , adică $x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)$ .

Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real.

Definiție:

Se numește partea întreagă a unui număr real $x$ cel mai mare număr întreg mai mic decât $x$ . Partea întreagă a numărului $x$ se notează cu $[x]$ .

Exemplu: $[7,5]=7; \ \ \ \ [-3,21]=-4; \ \ \ \ [\frac{12}{5}]=[2,4]=2; \ \ \ \ [1-\sqrt{3}]=-1$ pentru că $1-\sqrt{3}\in(-1;0)$ .

Definiție:

Se numește partea fracționară a unui număr real $x$ diferența dintre $x$ și partea sa întreagă. Partea fracționară a numărului $x$ se notează cu $\{x\}$ .

$\{x\}=x-[x],\forall x\in\mathcal{R}$

Exemplu: $\{7,5\}=7,5-7=0,5; \ \ \ \ \{-3,21\}=-3,21-(-4)=-3,21+4=0,79;$

$\{\frac{12}{5}\}=2,4-2=0,4; \ \ \ \ \{1-\sqrt{3}\}=1-\sqrt{3}-(-1)=2-\sqrt{3}$ .

Proprietăți:

1). $[x]\in\mathcal{Z},\forall x\in\mathcal{R}$

2). $\{x\}\in[0;1),\forall x\in\mathcal{R}$

3). $[x]=x \Leftrightarrow \{x\}=0 \Leftrightarrow x\in\mathcal{Z}$

4). $[x+m]=[x]+m, ,\forall x\in\mathcal{R},\forall m\in\mathcal{Z}$

5). $\{x+m\}=\{x\}, ,\forall x\in\mathcal{R},\forall m\in\mathcal{Z}$

6). $[x]\leq x<[x]+1,\forall x\in\mathcal{R}$

7). $x-1<[x]\leq x,\forall x\in\mathcal{R}$

Intervale de numere reale.

Fie $a$ și $b$ două numere reale cu proprietatea $a<b$ , atunci avem următoarele tipuri de intervale:

Intervale mărginite (au ambele capete numere reale)

$[a;b]=\{x\in\mathcal{R}|a\leq x\leq b\} \ \ \ \ (a;b)=\{x\in\mathcal{R}|a<x<b\}$

$(a;b]=\{x\in\mathcal{R}|a<x\leq b\} \ \ \ \ [a;b)=\{x\in\mathcal{R}|a\leq x<b\}$

Intervale nemărginite (au unul dintre capete $\infty$ sau $-\infty$ )

$(-\infty, a)=\{x\in\mathcal{R}|x<a\} \ \ \ \ (-\infty, a]=\{x\in\mathcal{R}|x\leq a\}$

$(a,\infty)=\{x\in\mathcal{R}|x>a\} \ \ \ \ [a,\infty)=\{x\in\mathcal{R}|x\geq a\}$

Intervale simetrice. Fie $a>0$ un număr real. Orice interval de forma $[-a;a]$ sau $(-a;a)$ se numește interval simetric.

Intervale centrate într-un punct. Fie $x\in\mathcal{R}$ și $a>0$ . Un interval centrat în x este un interva de forma $[x-a;x+a]$ sau $(x-a;x+a)$ .

Operații cu intervale– sunt aceleași operații definite pe mulțimi de numere.

Fie $I$ și $J$ două intervale de numere reale, pe care vom definit operațiile:

1). Reuniunea: $I\cup J=\{x\in\mathcal{R}|x\in I \text{ sau } x\in J\}$ (se iau elementele comune și necomune o singură dată)

2). Intersectia $I\cap J=\{x\in\mathcal{R}| x\in I \text{ și } x\in J\}$ (se iau doar elementele comune o singură dată)

3). Diferența $I\backshash J=\{x\in\mathcal{R}| x\in I \text{ și } x\notin J\}$ (se iau elementele din $I$ care nu aparțin intervalului $J$ )

4). Complementara unui interval. Dacă $I\subset J$ , atunci complementara intervalului I în raport cu J este $C_J(I)=J\backslash I$ .

Exemplu: Fie intervalele $I=(-3; 4]$ , $J=[0,\infty)$ și $K=[8;9)$ . Calculați $I\cup J$ , $I\cap J$ , $I\backslash J$ și $C_J(K)$ .

Răspuns: $I\cup J=(-3,\infty) \ \ \ \ I\cap J=[0;4] \ \ \ \ I\backslash J=(-3;0) \ \ \ C_J(K)=[0;8)\cup[9,\infty)$ .

Utilizare Mulțimea numerelor reale.

Mulțimea numerelor reale este un concept matematic fundamental, care, deși poate părea abstract la prima vedere, are o importanță semnificativă în viața de zi cu zi. Aceste numere nu reprezintă doar o parte a matematicii academice, ci sunt utilizate extensiv în numeroase aspecte ale vieții noastre cotidiene. Acest articol va explora modul în care mulțimea numerelor reale influențează și susține diferitele aspecte ale activităților noastre zilnice.

Tranzacții financiare: Mulțimea numerelor reale este esențială în gestionarea finanțelor personale și profesionale. Atunci când efectuăm tranzacții bancare, calculăm dobânzile, planificăm investiții sau creăm bugete, lucrăm cu sume de bani reale, care sunt reprezentate de numere reale. Aceasta ne ajută să luăm decizii financiare informate și să urmărim starea noastră financiară.
Măsurători și știință: În știință și în domeniul ingineriei, numerele reale sunt folosite pentru a măsura cantități diverse, precum distanța, timpul, temperatura sau masa. Aceste măsurători sunt esențiale pentru cercetarea științifică, dezvoltarea tehnologică și pentru a ne înțelege mediul înconjurător.
Calculul și ingineria: Mulțimea numerelor reale este fundamentul matematic al calculului și al științelor ingineriei. Aceasta este utilizată pentru a modela și rezolva probleme complexe, de la proiectarea structurilor de clădiri și poduri la optimizarea proceselor industriale.
Cumpărături și comerț electronic: În timpul cumpărăturilor online sau în magazin, prețurile produselor și serviciilor sunt, de asemenea, exprimate ca numere reale. Consumatorii utilizează aceste numere pentru a compara prețurile, a calcula reducerile și a decide asupra achizițiilor.
Tehnologia informației: În domeniul tehnologiei informației, numerele reale sunt utilizate în calculatoare și software pentru a efectua operații matematice esențiale. Acestea sunt fundamentale pentru procesarea datelor, pentru grafică și pentru rezolvarea problemelor complexe în domeniul informaticii.

Concluzie

Mulțimea numerelor reale este un concept matematic esențial care are un impact semnificativ în viața noastră de zi cu zi. Aceste numere nu sunt doar elemente abstracte din manualele școlare, ci sunt instrumente fundamentale în gestionarea finanțelor personale, în cercetare științifică, în dezvoltarea tehnologică și în numeroase alte aspecte ale vieții moderne. Înțelegerea utilizării lor ne ajută să luăm decizii mai bune și să navigăm cu succes în lumea complexă în care trăim.

Dacă îți place platforma noastră, te invit și pe pagina noastră de Facebook și Youtube

Meniu

Mulțimea numerelor reale

Mulțimea numerelor reale.

Ordonarea numerelor reale.

Inegalitatea mediilor.

Modului unui număr real.

Definiție:

Proprietăți:

Inecuații cu modul

Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real.

Definiție:

Definiție:

Proprietăți:

Intervale de numere reale.

Utilizare Mulțimea numerelor reale.

Concluzie

Meniu

Link-uri utile

ANPC