Operații cu numere reale 📚

Operații cu numere reale

Acest material despre operații cu numere reale cuprinde următoarele noțiuni: modulul unui număr real, adunarea și scăderea numerelor reale, înmulțirea și împărțirea numerelor reale, puterea unui număr real cu exponent întreg, raționalizarea numitorilor de forma a $\sqrt{b}$ , media aritmetică a n numere reale, media aritmetică ponderată a n numere reale, media geometrică a două numere reale și ecuația de forma =a.

Modulul unui număr real:

Exemple:

|- $\sqrt{7}$ | = – (- $\sqrt{7}$ ) = $\sqrt{7}$

|+ $2\sqrt{3}$ | = + $2\sqrt{3}$

| $3\sqrt{2} - 5$ | = | $\sqrt{18} - \sqrt{25}$ | = -( $\sqrt{18} - \sqrt{25}$ ) = – $\sqrt{18} + \sqrt{25}$ = – $3\sqrt{2} + 5$

Adunarea și scăderea numerelor reale

Dacă a,b ϵ R atunci a+b ϵ R și a-b ϵ R.

Dacă termenii cuprind același radical, se scad/adună numerele din fața radicalului:

$a\sqrt{c}$ ± $b\sqrt{c}$ = (a ± b) $\sqrt{c}$

Exemplu: $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ = $(2+4)\sqrt{3}$ = $6\sqrt{3}$

Dacă termenii nu cuprind același radical, se lasă sub forma unei sume/diferențe de numere iraționale:

Exemplu: $2\sqrt{2}$ + $3\sqrt{5}$ rămâne scris așa.

Înmulțirea și împărțirea numerelor reale

Dacă a,b ϵ R atunci a·b ϵ R și $\frac{a}{b}$ ϵ R. (b nenul)

$x\sqrt{a}\cdot y\sqrt{b} = xy\sqrt{ab}$

Exemplu: $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{10} = 2\cdot 3\sqrt{5\cdot 10} = 6\sqrt{50} = 6\cdot5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

$\dfrac{x\sqrt{a}}{y\sqrt{b}} = \dfrac{x}{y}\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ , b,y nenule.

Exemplu: $\dfrac{6\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \dfrac{6}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2\sqrt{3}$

Puterea unui număr real cu expoent întreg:

Dacă a ϵ R, p ϵ Z, atuci $a^p$ ϵ R.

( $a\sqrt{b}$ ) $^n$ = $a^n\cdot\sqrt{b^n}$ , a,b ϵ R, b≥0, n ϵ Z.

Exemplu: ( $2\sqrt{3}$ ) $^4$ = $2^4\cdot\sqrt{3^4}$ = $16\cdot 3^2$ = $16\cdot 9$ = $144$ .

( $\sqrt{a}$ ) $^2^n$ = $a^n$

Exemplu: $\sqrt{2}^6 = 2^3$

( $\sqrt{a}$ ) $^2^n^+^1$ = ( $a^n$ ) $\sqrt{a}$ , a≥0, nϵ N.

Exemplu: ( $\sqrt{5}$ ) $^7$ = ( $5^3$ ) $\sqrt{5}$

Raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$

$\dfrac{^\sqrt{c}) a}{b\sqrt{c}} = \dfrac{a\sqrt{c}}{bc}$ , c>0

Exemplu: $\dfrac{^\sqrt{2}) 3}{5\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{5\cdot 2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{10}$

Media aritmetică a n numere reale:

$m_a(a_1,a_2,...,a_n) = \dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

Exemplu:

Un elev are notele 9, 5 și 7 la istorie. Care este media notelor sale?

$m_a = \dfrac{9+5+7}{3} = \dfrac{21}{3} = 7$

Media aritmetică ponderată a n numere reale

$m_a_p = \dfrac{a_1\cdot p_1+a_2\cdot p_2+...+a_n\cdot p_n}{p_1+p_2+...+p_n}$

Exemplu:

Într-o firma exista doi angajați cu salariu de 2500 lei, trei au salariul 3000 lei și un angajat are 4000 lei. Determinați salariul mediu din firma respectivă.

$m_a_p = \dfrac{2500\cdot 2+3000\cdot 3+4000\cdot 1}{2+3+1} = \dfrac{18000}{6} = 3000 lei$